二阶电路的零状态响应和阶跃响应

1．零状态响应和阶跃响应

二阶电路的初始储能为零，仅由外施激励引起的响应称为二阶电路的零状态响应。二阶电路在阶跃激励下的零状态响应成为二阶电路的阶跃响应。零状态响应和阶跃响应的求解方法相同。现以图1所示RLC 串联电路为例说明求解方法。 　　图中激励为阶跃电压，因此电路的初始储能为: 　　uC(0－)=uC(0+)=0，iL(0－)=iL(0+)=0。
	图 1

　　t＞0 后，根据 KVL 和元件的 VCR 得以电容电压为变量的电路微分方程：
　　　　　　
　　　特征方程为；
　　　方程的通解求法与求零输入响应相同。
　　　令方程中对时间的导数为零，得方程的特解:
　　　则u_C的解答形式为：
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　

由初值 　　确定常数 　　电路在阻尼状态和振荡状态时电容电压随时间的变化波形如图2所示，表明电容电压从零上升最后稳定在 E 值。
	图 2

2．二阶电路的全响应
　　如果二阶电路具有初始储能，又接入外施激励，则电路的响应称为二阶电路的全响应。全响应是零状态响应和零输入响应的叠加，可以通过把零状态方程的解带入非零的初始条件求得全响应。

例1 图示电路在 t＜0 时处于稳态， t=0 时打开开关 , 求电流i 的零状态响应。

例3 图（a）

　　解：（1）列写微分方程，由 KCL 得：
　　　　　　
　　　　　　由 KVL 得：
　　　　　　整理以上两个方程得：
　　　　　方程为二阶非齐次常微分方程。解答形式为：
　　（2）求通解 i'
　　　　　　特征方程为：
　　　　　　　特征根为： P₁=－2 ， P₂=－6
　　　　　　　　所以

（3）求特解 i ” 　　由图（b）所示的稳态模型得: 　　　 i=0.5u1，u1=2(2－0.5u1)， 　　　　解得：u1=2V，i=1A 　　　　所以
（4）定常数	例3 图（b）

电路的初始值为 　 由图（c）所示的0+电路模型得： 　 　所以
	例3 图（c）

　　因此电流为：