单位阶跃函数与单位冲激函数

1、单位阶跃函数

单位阶跃函数用符号表示，其定义式如下

             （1）

此函数的图形如图l所示。

图 1 单位阶跃函数的图形

单位阶跃函数的定义式表明：该函数在t<0  时，其值为0；t>0时，其值为

1;当t＝0时,发生跳变，其值未定(可取为 )；当t由负值(或正值)趋近于0时，

其值则是确定的，即

其中 t=0-是t由负值趋近于零的极限， t=0+则是t由正值趋近于零的极限。

函数称为移位的单位阶跃函数。因为若令，则根据式(1)有

图2 移位的单位阶跃函数的图形

此函数的图形表示在图2a中（仅向右平移）。由此可见，函数在时，其值为0；时，其值为1；时，发生跳变。

   与此类似，移位的单位阶跃函数表示在图2(b)中，此函数在时发生跳变。

   对任一函数f(t)与单位阶跃函数的乘积f(t)而言，当t<0时，其值为0；当t>0时，等于f(t)。也就是说，f(t)只存在于t>0的区间。类似地, f(t)只存在于t＞的区间。

图3 用单位阶跃函数表示电路的输入示例

图3(a)表示的网络在t<0时，A、B两端问的电压为零；在t>0时，接入一个电压为的直流电压源。此电路可用单位阶跃函数等效地表示于图3(b)。

2、单位冲激函数

1、  单位冲激函数

单位冲激函数用符号表示，其定义式如下

         （2）

图 5 单位冲激函数的图形  

这表明单位冲激函数只存在于t=0时，其图形与t轴之间所限定的面积等于

1，如图5(a)所示(图中括号内的数值表示函数图形的面积)。

2、移位的单位冲激函数:

  令

其图如5（b）

3、冲激函数：

   ——常数A与的乘积。

单位冲击函数与单位阶跃函数之间的关系：

                       图 6 冲激函数Aδ（t）的图形