一阶RC电路的暂态过程

分析一阶RC电路的暂态过程的方法有很多种，这里只介绍经典法和三要素法，下面以图3-6所示的电路为例，对这两种方法分别进行介绍。

1、经典法

图3-6所示电路，t=0时开关S闭合，电源对电容充电，从而产生过渡过程。根据KVL，得回路电压方程为

而：

从而得微分方程：

此微分方程的通解为两个部分：一个是特解，一个是齐次方程式的解，即:

特解可以是满足方程式的任何一个解，假定换路后，t→时电路已达稳定，电容C

的电压为稳态分量，那么它是满足方程式的一个解。对于图3－6所示的RC串联电路：=＝US。

微分方程的齐次方程式为：

令其通解为，代入齐次微分方程式可得特征方程式是：

所以，特征方程式的根为：

式中，其量纲为（秒），称为电路暂态过程的时间常数。

因此微分方程的通解

=+

积分常数A需用初始条件来确定。在t=0时

=+=+A

 由此可得：A=-

因此+

上述利用微分方程进行求解分析一阶RC电路的暂态过程的方法称为经典法，经典分析法步骤较多，为便于掌握，现归纳如下：

（1） 用基尔霍夫定律列出换路后电路的微分方程式。

（2）解微分方程。

解微分方程通常比较麻烦，对于一阶RC电路有一种更方便、更常用的分析方法——三要素法。

2、三要素法

通过经典分析法我们得到图3-6所示电路暂态过程中电容电压为：

+

上述结果可归纳为一种简单的解题方法，称为“三要素法”，

式中只要知道稳态值，初始值和时间常数，这“三要素”，则便被唯一确定。这种利用“三要素”来实现电路暂态分析的方法，称“三要素法”。虽然上述式子由图3-6所示的电路提出，但它适合于任何含一个储能元件的一阶电路在阶跃（或直流）信号激励下的过程分析。而经典法则适用于任何线性电路的暂态分析。

在“三要素”中，特别要注意时间常数，前面已定义，一阶RC电路仅有一个电容元件，C即为电容器的电容量，而R为换路后的电路中除去电容后所得无源二端口网络等值电阻。

下面以直流(激励源为常数)一阶电路为例应用“三要素法”分析电路的响应。

RC电路的零状态响应

当动态电路的初始储能为零(即初始状态为零)时，仅由外加激励产生的响应称零状态响应。RC电路的零状态响应即电容器的充电过程。

图3-7的一阶RC电路，设在开关S闭合前(t<0)，电容C无初始储能即处于零状态，当t=0时，开关S闭合，下面用“三要素法”分析电路的响应。

电容C无初始储能，即电容的初始电压uC(0-)=0。根据换路定律，电容电压的初始值uC(0+)=uC(0-)=0。故电路响应是零状态响应

t=时，充电完毕，稳态值为换路后电容的稳定电压，因此

=US

时间常数，根据“三要素法”

+

=

uc(t)的变化曲线如图3-8（a）所示。uc(t)按指数规律随时间增长而趋于稳态值US。

当t=时

=

同样可以算出

当t=2时0.865 US

当t=3时0.950US

当t=5时0.993US

理论上暂态过程要持续到才结束，即达到US，实际上当～5）时，已达到的（95～99）%，工程上认为电路已经稳定，因此定义3～5）为暂态过程的持续时间。

充电电流为

ic的变化曲线如图3-8（b）所示。

例3-4

图3-9电路在时已处于稳态。时开关闭合，求时的。
解：时已处于稳态，即电容的初始电压uC(0-)=0

根据换路定律，电容电压的初始值uC(0+)=uC(0-)=0

t=时，稳态值为换路后电容看成开路的电压，因此

时间常数，其中R为换路后的电路中除去电容后所得无源二端网络等值电阻。

+

=

=

此电路也可应用戴维南定理将换路后的电路从电容端看二端网络简化为电压源与电阻串联，然后用“三要素法”进行分析。