一阶电路的零输人响应

1 、  电路的零输入响应

图 1 RC电路的放电过程

    在图1 （ a ）中，换路前（ S1 闭合， S2 断开），电路是由电容 C 与电压 的直流电压源联接而成，电容电压 。当 t=0 时，打开 S1 并合上 S2, 使电容脱离电源而改接于电阻 R 上。此后 , 电容通过电阻放电，电容电压将由它的初始值开始，随时间的增长逐渐减小以趋近于零。在放电过程中，电容内的电场能量将转化为电阻发热损耗的能量。

    求解电容通过电阻放电时的放电电流和电压随时间变化的规律，也就是求解图1(b) 所示电路的零输入响应。为此，首先必须建立换路后电路的微分方程。

按照图中标明的电容电压和电流的参考方向，电容电压和电流的关系式应为                              

基尔霍夫电压定律，可得电路的微分方程为

                                     （ 1 ）

此微分方程的特征方程为     

特征根为                 

因而该微分方程的通解为              （ 2 ）

该微分方程的初始条件显然是   

由式 (2) ，令 ，并将初始条件 代入，得到

从而得到在给定初始条件下，电容上的零输入响应电压

                                  （ 3 ）

零输人响应电流（即放电电流 ) 则应为

                              （ 4 ）

或         

电容电压 和电流 随时间变化的曲线如图 2 所示。

                 图2 RC电路的零输入响应曲线

    函数式和曲线均表明：在 RC 电路的放电过程中，电容电压 从它的初始值 开始，随时间的增长按指数规律逐渐下降以趋近于零。电流 在放电初瞬（ 时）形成 — 个正跳变，即从 跳变到 。 这是电 容上的原有电压 在换路后的初瞬突然加到电阻 R 上所造成的结果。以后，随着电容电压的逐渐下降，放电电流也按相同指数规律逐渐衰减直至消失。

    在给定电容电压初始值 的情况下，电容 C 越大，电容中储存的电荷越多，放电需要的时间越长；电阻 R 越大，放电电流越小，放电需要的时间也越长。因此，电容电压和电流衰减的快慢，决定于电路参数 R 和 C 的乘积。这个乘积是一个常量，具有时间的量纲，它代表电容电压和电流共有的指数衰减因子 衰减至其初始值的 e 分之一所需要的时间，故称之为指数衰减因子的时间常数(time constant) ．通常直接称之为 RC 电路的时间常数，以τ代表，即

                          τ＝ RC     (5)

    时间常数的概念表明，电容电压和电流衰减的快慢取决于电路的时间常数。 放电前电容上原有电压 的高低，将影响电容电压和电流在放电过程中任意 瞬时的函数值，但不能决定放电过程的快慢。

  说明：(1) 每经过时间τ，电容电压 ( 或电流 ) 衰减至原值 [ 指区间τ的起点电容电压 ( 或电流 ) 的数值 ] 的 36.8%。

        (2) 当 t ＝ 4 τ —5 τ时，电容电压（或电流 ) 将衰减至其初始值的1.84 ％ - 0.68 ％，一般己可忽略不计，而认为放电过程已基本结束。

    显然，时间常数τ愈小，放电过程进行得愈快；反之，则愈慢。  

    综上所述， RC 电路的零输入响应是依靠电容上的初始电压来维持的，或者说是依靠电容中原有电场能量来维持的。随着放电过程的进行，电场能量逐渐被电阻消耗，从而决定了 RC 电路零输入响应按指数规律衰减的特性。 RC 电路零输入响应的瞬时值决定于电容上的初始电压 和电路的时间常数τ。

 2、 RL 电路的零输入响应

  在图1 所示电路中，换路前 ，换路后电路中的响应即为 RL 电路的零输入响应。这时电路的微分方程为

                                        （ 6 ）

其特征方程为           

特征根为                                                      

因而该微分方程的通解为                       

代入初始条件              

即得零输入响应电流为                  ( 7 )

零输入响应电感电压 [ 参考方向与 一致 ] 为

                      (8)

电感电流 与电感电压 随时间变化的曲线如图4 所示。

    由函数式和曲线均可看出：在 RL 电路中，零输入响应电流 从 它的初始值 开始，随时间的增长按指数规律逐渐衰减以趋近于零。电 感电压 在换路后的初瞬有 — 个负跳变，即由 跳变到 。以后，随着电流的逐渐下降，电感电压的绝对值也按同一指数规律逐渐哀减直至消失。

图4 RL电路的零输入响应曲线

电流和电感电压绝对值衰减的过程，就是磁场能量放出的过程。衰减的快 慢决定于 RL 电路的时间常数τ＝ L ／ R ，增大 L 或减小 R ，响应的衰减减慢；反之则衰减加快。τ值也可根据电流 ( 或电感电压 ) 曲线用作图法求出 [见图4(a)] 。

    与 RC 电路的分析相似，大约经过 4 τ —5 τ的时间后，就可近似地认为零输入响应已衰减为零了。

    综上所述，可知：

    (1) RC 电路 ( 或 RL 电路 ) 中的零输入响应电压和电流均以同一时间常数随时问按指数规律变化，仅初始值不同而已。因此，只要求出了响应的初始值

和电路的时间常数τ，就可根据式 (3) 、 (4)[ 或式 (7) 、 (8)]直接写出电路的零输入响应。

   （2) RC 电路和 RL 电路的零输入响应都是电路原始状态的线性函数。例 如， 作为原始状态 的函数来看，满足齐次性与可加性；类似地，作为原始状态 的函数来看，也满足齐次性与可加性。

   （3)RC 电路的零输入响应与 RL 电路的零输入响应具有对偶性，二 者的时间常数也具有对偶性。但须注意， RC 电路的时间常数τ＝ RC ， RL 电路的时间常数τ＝ ，其中电容 C 与电感 L 互为对偶，电阻 R 则应与电导 互为对偶。