二阶电路 用二阶微分方程描述的电路,二阶电路一般含有两个储能元件。 列后KVL方程 将元件方程 代入得描述的二阶常系数线性齐次微分方程 两个初始条件 的二阶常系数线性齐次微分方程定解 由于电路为零输入响应,因此的强制分量(特解)为零,即 下面求齐次微分方程通解 ; 令代入上式,得到两个特征根 , 上式表明,特征根、决定于电路参数(R、L、C)。而电路参数可任意取值,所以、可为相异实根、二重根或共轭复根。相应的,方程通解将具有不同的函数形式。 1.,即电路参数满足 此时、为两个相异负实根(设R、L、C均为正值)。方程通解为 其中A1和A2须通过初始条件确定 解得
将A1、A2代入得响应
根据电容、电感的元件方程,考虑到可得 由于电路中无独立电源,所以响应、、均为零输入响应,因而只含自由分量。 2.,即电路参数满足 此时、为一对共轭复数,它们分别写成 ; 式中, 方程通解为 其中A和须由初始条件确定: 解得 代入得响应 根据元件方程,得
下图画出了时RLC串联电路零输入响应、i及的波形图——欠阻尼过程 3.,即电路参数满足 此时和为两个相等负实根,即特征方程存在二重根 方程通解为 其中A1、A2须由初始条件确定: 解得 代入通解得 以及 由于属于临界状态。此时电阻R称为临界电阻。临界情形仍是非振荡情形。
解:设A。列写关于的微分方程。根据KCL,得 (1) 根据KVL,得 (2) 将式(2)对时间求导,再将式(1)代入求导后的方程,得 (3) 代入已知数 (4) 由零状态电路得初始条件: (5) 下面求满足方程(4)和初始值(5)的解答。 (6) 为一对共轭复根,故自由分量形式为 (7) 与相加便是方程(4)的通解 (8) 由初始条件式(5)确定B和: 解得 (9) 将、代入式(8)得到满足方程(4)及初始值(5)的解,即响应 A (10) 因为电路为零状态,时,可以用单位阶跃函数表示时的情况。这样的统一表达式是 A (11) 上述是在单位阶跃电流源作用下产生的响应,故的单位阶跃特性的变化规律与相同,但无量纲。即 (12) 的波形如图 (b)所示。 |
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GMT+8, 2023-3-25 21:31