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通信系统都有发送机和接收机，为了提高系统的可靠性，通常在接收机的输入端接有一个带通滤波器，信道内的噪声构成了一个随机过程，经过该带通滤波器之后，则变成了窄带随机过程，因此，讨论窄带随机过程的规律是重要的。 |
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| 图3.5.1窄带波形的频谱及示意波形 |
| 二、窄带随机过程的表示方式 如果在示波器上观察这个过程中一个样本函数的波形，则会发现它像一个包络和相位缓慢变化的正弦波，如图3.5.1（b）所示。因此窄带随机过程可用下式表示成： |
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式中， 是窄带随机过程包络； 是窄带随机过程的随机相位。窄带随机过程也可用下式表示 |
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| 其中: |
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这里的 和 分别被称作 的同相分量和正交分量。可见， 的统计特性可以由、或、的统计特性来确定。反之，若已知的统计特性，怎样来求 、或、的特性呢？三、同相分量与正交分量的统计特性 设窄带随机过程是均值为零平稳的窄带高斯过程。可以证明，它的同相分量和正交分量也是均值为零的平稳高斯过程，而且与 具有相同的方差。1.数学期望 |
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已设是平稳的，且均值为零，即对于任意时刻，有 ，所以，可得 |
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| 即 |
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| 2.自相关函数 我们知道一些统计特性可以从自相关函数中得到，所以，按定义 的自相关函数为 |
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| 将上式展开，并取数学期望为 |
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| 其中 |
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因为是平稳的，可以令 ，得 |
 （1） |
同理，令 ，得 |
 （2） |
| 如果是平稳的，则、也是平稳的。 由于式（1）和式（2）相等，则应有 |
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| 可见，的同相分量和正交分量具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，有 |
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| 可见，有 |
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上式表示， 为 的奇函数，所以 |
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同理可以证明 |
| 得到 |
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即 |
| 这表明，和具有相同的方差。 3.概率密度函数 |
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因为 和 统计独立，则和的二维概率密度函数为 |
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| 利用式（3.5.16），上式改写为 |
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| 以上讨论的是由的统计特性推导出同相分量和正交分量的统计特性。 四、包络与相位的统计特性 现在来确定窄带平稳高斯过程的包络和相位的统计特性，随机包络和随机相位可表示为 |
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利用概率论中随机变量变换的关系来求解和的概率密度函数，把，，和在某一时刻的随机变量用 ， ， 和 来表示。根据随机变量变换关系有 |
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其中， 为，的联合概率密度函数； 为雅可比行列式，它等于 |
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| 由和得 |
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| 进行偏微分，并代入雅可比行列式，得 |
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| 于是 |
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因为 ，所以上式中包络 ，而在 内取值。利用概率论中的边际分布知识，可求得包络 的概率密度函数为 |
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| 可见，服从瑞利分布。 瑞利分布的特点：最大值发生在  处，其值为 。 |
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| 图3.5.2 窄带高斯过程包络的概率密度函数 |
| 利用边际分布知识，可求得相位的概率密度函数为 |
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| 可见，随机相位在内服从均匀分布。 |
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| 所以窄带平稳高斯过程的包络和相位是统计独立的。 五、窄带随机过程的功率谱密度 结论：窄带随机过程同相分量 和正交分量具有相同的功率谱密度，而且与窄带随机过程的功率谱密度 具有如下关系式 |
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式中，设的频率范围 , 证明：窄带随机过程 的同相分量和正交分量的提取方法如图3.5.4所示。 |
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| 图3.5.4 同相分量和正交分量的提取方法 |
| 1.同相分量 对式  两边乘以 ，得 |
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两边都通过截止频率为 的低通滤波器，于是输出为 ，表示为 |
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| 其功率谱密度为 |
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| 1.同相分量 同理，对式 两边乘以 ，得 |
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| 用功率谱密度表示为 |
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由以上关系式，可画出功率谱密度 、 和 如图3.5.3所示。 |
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| 图3.5.3、和的功率谱密度
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二进制绝对相移键控（2PSK）与相对相移键控电工学习网 ( )
GMT+8, 2021-12-6 20:45
，带宽为
，当满足
时，就可认为满足窄带条件。