电路的图是电路拓扑结构的抽象描述。若图中每一支路都赋予一个参考方向,它成为有向图。有向图的拓扑性质可以用关联矩阵、回路矩阵和割集矩阵描述。 关联矩阵是用结点与支路的关系描述有向图的拓扑性质。 回路矩阵是用回路与支路的关系描述有向图的拓扑性质。 割集矩阵是用割集与支路的关系描述有向图的拓扑性质。 本节仅介绍关联矩阵以及用它表示的基尔霍夫定律的矩阵形式。 一条支路连接某两个结点,则称该支路与这两个结点相关联。支路与结点的关联性质可以用关联矩阵描述。设有向图的结点数为 n ,支路数为 b ,且所有结点与支路均加以编号。于是,该有向图的关联矩阵为一个 阶的矩阵,用 表示。它的每一行对应一个结点,每一列对应一条支路,它的任一元素 定义如下: ,表示支路 k 与结点 j 关联并且它的方向背离结点;
① 每一列只有两个非零元素,一个是+1,一个是-1, 的每一列元素之和为零。 ② 矩阵中任一行可以从其他 n-1 行中导出,即只有 n-1 行是独立的。 如果把 的任一行划去,剩下的 矩阵用 表示,并称为降阶关联矩阵(今后主要用这种降阶关联矩阵,所以往往略去“降阶”二字),被划去的行对应的结点可以当作参考结点。 例如,若以结点 4 为参考结点,把上式中 的第 4 行划去,得 若以结点 3 为参考结点,把上式中 的第 3 行划去,得 矩阵 的某些列将只具有一个 +1 或一个-1,每一个这样的列必对应于与参考结点相关联的一条支路。 注意:给定 可以确定 ,从而画出有向图。
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