电位移矢量及其高斯定理

　　1、数学表达式
　　有介质存在时，高斯定理仍然成立。但在计算高斯面内包围的电荷时，应包括自由电荷和极化电荷，即

而

两式整理后，得

如果定义一点的电位移矢量为

则有

上式称为有介质存在时的高斯定理。因为是电位移矢量的通量，所以它可以表述为：通过任一闭合曲面的电位移通量，等于包围在该闭合面内自由电荷的代数和。

     2、关于定理的几点说明
　　（1）有介质存在时的高斯定理是更普遍的规律，它概括了真空中的高斯定理。
　　（2）在的高斯定理中，和不直接出现，在电荷和介质分布具有一定对称性的情况下，可以由自由电荷的分布，求出的分布。
　　（3）高斯面上任一点的是由空间总的自由电荷的分布决定，不能认为只与面内自由电荷有关。 

　　2、与的关系
　　因为，

而 ，所以

三、应用举例
　　半径为的金属球，电荷为 ，放在均匀无限大介质中，介质的介电常数为 。 求介质中的电场强度。

解：在金属球外的介质中取一点，距球心的距离为。以为球心、为半径作一同心球面为高斯面，则由介质中的高斯定理，得 电位移矢量

介质中的场强为

    若金属球放在真空中，则场强为