机电一体化机械系统性能分析

    机械系统中各元件在工作时受力或力矩的作用，将产生轴向伸长、压缩或扭转等弹性变形，这些变形将影响到整个系统的精度和动态特性。建模时要将其折算成相应的扭转刚度系数或轴向刚度系数。

    上例中，应先将各轴的扭转角都折算到轴I上来，丝杠与工作台之间的轴向弹性变形会使轴Ⅲ产生一个附加扭转角，也应折算到轴I上，然后求出轴I的总扭转刚度系数。同样，当系统在无阻尼状态下，、、等输入转矩都用来克服机构的弹性变形。

图2　弹性变形的等效图

    （1）轴向刚度的折算　当系统承担负载后，丝杠螺母副和螺母座都会产生轴向弹性变形，图2是它的等效作用图。在丝杠左端输入转矩T3的作用下，丝杠和工作台之间的弹性变形为，对应的丝杠附加扭转角为。根据动力平衡原理和传动关系，在丝杠轴Ⅲ上有：

    所以

    式中　K′——附加扭转刚度系数

    　　　（9）

    （2）扭转刚度系数的折算　设、、分别为轴I、Ⅱ、Ⅲ在输入转矩、、的作用下产生的扭转角。根据动力平衡原理和传动关系有

    由于丝杠和工作台之间轴向弹性变形使轴Ⅲ附加了一个扭转角，因此轴Ⅲ上的实际扭转角Ⅲ为： Ⅲ＝

    将、值代入，则有

    将各轴的扭转角折算到轴I上得轴I的总扭转角

    将、、值代入上式有：

　（10）

    式中——折算到轴I上的总扭转刚度系数

    　　　　（11）

    4、建立系统的数学模型

    根据以上的参数折算，建立系统动力平衡方程和推导数学模型。

    设输入量为轴I的输入转角Xi；输出量为工作台的线位移Xo。根据传动原理，把Xo折算成轴I的输出角位移。在轴I上根据动力平衡原理有

    　　　　（12）

    又因为　　　　 （13）

    因此，动力平衡关系可以写成下式

　　　（14）

    这就是机床进给系统的数学模型，它是一个二阶线性微分方程。其中、、均为常数。通过对式2-15进行拉氏变换求得该系统的传递函数为

　　　　（15）

    式中——系统的固有频率，＝　　　　（16）

    ——系统的阻尼比，　　　　（17）

    和是二阶系统的两个特征参量，它们是由惯量（质量）、摩擦阻力系数、弹性变形系数等结构参数决定的。对于电气系统，和则由R、C、L物理量组成，他们具有相似的特性。

    将S=j代入（15）可求出A（）和（），即该机械传动系统的幅频特性和相频特性。由A（）和（）我们可以分析出系统输入输出之间不同频率的输入（或干扰）信号对输出幅值和相位的影响，从而反映了系统在不同精度要求状态下的工作频率和对不同频率干扰信号的衰减能力。

图3　二阶系统单位阶跃响应曲线