一、基本定理
根据逻辑代数的公理,可以推导出逻辑代数的8组定理,这些定理在逻辑推导中可当作基本公式使用,它们在逻辑函数变换和化简时十分有用。8组定理如表1所示。 表1 逻辑代数的8组定理
二、重要规则 逻辑代数有三条重要规则,即代入规则、反演规则和对偶规则。 1.代入规则 任何一个含有变量A的逻辑等式,如果将所有出现A的位置都代之以同一个逻辑函数F,则等式仍然成立。这一规则称为代入规则。 例如,给定逻辑等式,若等式中的A都用代替,则该逻辑等式仍然成立,即 利用代入规则可以将逻辑代数公理、定理中的变量用任意函数代替,从而推导出更多的等式。这些等式可直接作为公式使用,无须另加证明。 2.反演规则 若将逻辑函数F表达式中所有的“·”变成“+”,“+”变成“·”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,原变量变成反变量,反变量变成原变量,并保持原函数中的运算顺序不变 ,则所得到的新的函数为原函数F的反函数。这一规则称为反演规则。 例如,已知函数,根据反演规则可得到 , 运用反演规则可以很方便地求出一个函数的反函数,但使用反演规则时应注意保持原函数式中运算的优先顺序不变。 例如,已知函数,根据反演规则得到的反函数应该是 而不应该是。 3.对偶规则 如果将逻辑函数F表达式中所有的“·”变成“+”,“+”变成“·”,“0”变成“1”,“1”变成“0”,并保持原函数中的运算顺序不变,则所得到的新逻辑表达式称为函数F的对偶式,并记为F’。例如, 若,则 F′=。 注意:求逻辑表达式的对偶式时,同样要保持原函数的运算顺序不变。 若两个逻辑函数表达式F和G相等,则其对偶式F′和G′也相等。这一规则称为对偶规则。根据对偶规则,当已证明某两个逻辑表达式相等时,便可知道它们的对偶式也相等。 三、复合逻辑 实际应用中广泛采用“与非”门、“或非”门、“与或非”门、“异或”门等门电路。这些门电路输出和输入之间的逻辑关系可由3种基本运算构成的复合运算来描述,通常将这种逻辑关系称为复合逻辑,相应的逻辑门则称为复合门。 1.与非逻辑 与非逻辑是由与和非两种逻辑复合形成的,可用逻辑函数表示为
逻辑功能:只要变量A、B、C、…中有一个为0,则函数F为1;仅当变量A、B、C、…全部为1时,函数F为0。实现与非逻辑的门电路称为“与非”门。 与非逻辑可以实现与、或、非3种基本逻辑。以两变量与非逻辑为例: 与: 或: 非: 由于与非逻辑可实现3种基本逻辑,所以,只要有了与非门便可组成实现各种逻辑功能的电路,通常称与非门为通用门。 2.或非逻辑 或非逻辑是由或和非两种逻辑复合形成的,可用逻辑函数表示为
逻辑功能:只要变量A、B、C…中有一个为1,则函数F为0;仅当变量A、B、C…全部为0时,函数F为1。实现或非逻辑的门电路称为“或非”门。 或非逻辑也可以实现与、或、非3种基本逻辑。以两变量或非逻辑为例: 与: 或: 非: 同样,只要有了或非门,便可以组成实现各种逻辑功能的逻辑电路。所以,或非门也是一种通用门。 3.与或非逻辑 与或非逻辑是由3种基本逻辑复合形成的,逻辑函数表达式的形式为
逻辑功能:仅当每一个“与项”均为0时,才能使F为1,否则F为0。实现与或非功能的门电路称为“与或非”门。 显然,可以仅用与或非门去组成实现各种功能的逻辑电路,但实际应用中这样做一般很不经济,所以,与或非门主要用来实现与或非形式的函数。 4.异或逻辑 异或逻辑是一种两变量逻辑关系,可用逻辑函数表示为
逻辑功能:变量A、B取值相同,F为0;变量A、B取值相异,F为1。实现异或运算的逻辑门称为“异或”门。 根据异或逻辑的定义可知:
注意:在进行异或运算的多个变量中,若有奇数个变量的值为1,则运算结果为1;若有偶数个变量的值为1,则运算结果为0。 5.同或逻辑 同或逻辑也是一种两变量逻辑关系,其逻辑函数表达式为
式中,“⊙”为同或运算的运算符。 功能逻辑:变量A、B取值相同,F为1;变量A、B取值相异,F为0。实现同或运算的逻辑门称为“同或”门。 同或逻辑与异或逻辑的关系既互为相反,又互为对偶,即
注意:当多个变量进行同或运算时,若有奇数个变量的值为0,则运算结果为0;反之,若有偶数个变量的值为0,则运算结果为1。 由于同或实际上是异或之非,所以实际应用中通常用异或门加非门实现同或运算。 |
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GMT+8, 2023-6-20 05:15